[Mathematik] Induktionsfrage

[Boardfreak]

Hallo,
schreibe nächste Woche eine Matheklausur über Induktion.
Nun habe ich eine Frage, die mir bisher keiner beantworten konnte. Was meint ihr, ist der Lösungsweg 2 so in Ordnung?
nehmen wir an, ich habe folgende Summenfolge:

1²+2²+3²+.....+ n² = (1/6)n(n+1)(2n+1)

I - Induktionsbeginn
Für n=1 ist die Aussage wahr, da 1² = (1/6)x1x(1+1)(2+1)=1 ergibt.
II - Induktionsschritt
Es sei k€N und man nimmt an, dass die Aussage für k wahr ist.
Somit gilt:
1²+2²+3²+.....+ k² = (1/6)k(k+1)(2k+1)

Nun muss gezeigt werden, dass dies auch für k+1 gilt.
1²+2²+3²+.....+ k² + (k+1)² = (1/6)(k+1)(k+2)(2k+3)
Dies ergibt sich so:

Variante 1 (von Mathelehrer):
1²+2²+3²+.....+ k² + (k+1)² = (1/6)(k+1)(k+2)(2k+3)
= 1/6k (k+1) (2k+1) + (k+1)²
= 1/6 (k+1) [k(2k+1)+6(k+1)]
= 1/6 (k+1) (2k²+7k+6)
=1/6 (k+1)(k+2)(2k+3)
q.e.d.

Variante 2 (von mir):
zu Zeigen:
1²+2²+3²+.....+ k² + (k+1)² = (1/6)(k+1)(k+2)(2k+3) = (1/3) k^3 + (2/3k)^2 + (13/6)k + 1
dies ergibt sich so:
1²+2²+3²+.....+ k² + (k+1)² = (1/6)(k+1)(k+2)(2k+3)
= 1/6k (k+1) (2k+1) + (k+1)²
= (1/3) k^3 + (2/3k)^2 + (13/6)k + 1

Sieht recht kompliziert aus, in Worten gefasst multipliziere ich jedoch einfach das obere und untere aus, und natürlich kommt das selbe raus ---> bewiesen
Seht ihr das genau so oder darf ich die obere Form nicht verändern und muss mich an die Klammerdarstellung gewöhnen?
Und eine zweite Frage, wie kommt mein Mathelehrer auf diese Umwandlung (rot markierte Stelle)? Da fehlt mir irgendwie das Quadrat?
gruß
Boardfreak

 

[SUPERDIM]

Dein Mathelehrer beherrscht halt die Termumformung und macht sich das Leben nicht so schwer wie du. Ansonsten ist dein Weg auch richtig.

= 1/6k (k+1) (2k+1) + (k+1)²
= 1/6k (k+1) (2k+1) + (k+1)(k+1) | (k+1) vor die Klammer ziehen, 2te Summe mit 6 multiplizieren (wegen 1/6 vor der ersten Summe) und das k vor die erste Summe ziehen
= 1/6 (k+1) [k(2k+1)+6(k+1)]
= 1/6 (k+1) (2k²+7k+6)
= 1/6 (k+1)(k+2)(2k+3)

 

[narf]

= 1/6 (k+1) [k(2k+1)+6(k+1)]

== 1/6 (k+1) * k(2k+1) + 1/6 * 6 * (k+1) * (k+1)
== 1/6k(k+1)(2k+1)+(k+1)²

Beide Wege gehen. Irgendwo setzt man halt immer seine Induktions-Annahme ein...

ps.: Das heißt "vollständige Induktion"

 

[Boardfreak]

Oh man, der klammert die Klammer aus, bin ich blind.
Kommt davon wenn man zu lange vor solchen Aufgaben hockt.
Mir ist schon klar, dass es mit der Termumformung normalerweis schneller geht, nur wenn ich bei einem extrem komplizierten Term mit x-Potenzen diese nicht mehr hinbekomme, habe ich damit ja eine Absicherung, zumal ich im Kopfrechnen recht flott bin.
Klausur kann kommen, danke euch beiden!